EXEMPLU plotting funcții definite implicit

Luați în considerare reprezentarea grafică a funcțiilor în exemplul următor:

Exemplu. Grafic Postroimt de \ (x \ y (x) \), specificat implicit \ pozitiv parametrul schetaete (a> 0 \). $$ x ^ 4 + y ^ 4 = a ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) $$
Decizie. Ancheta a graficului funcției și de a construi Keypoint sale. Evident, graficul funcției este simetric în raport cu axele de coordonate, adică, va fi de a efectua programul de cercetare în primul trimestru, și anume la (geq 0 \ y \) \ (x geq 0 \ \) și \. Funcția este definită și continuă pentru toate \ (x \). Reprezintă curba în formă parametrică, înlocuiți \ (y = tx \). pentru că considerăm o curbă în primul chetveti, apoi \ (y geq 0 \ \). Substituind 4 $$ x ^ + y ^ 4 = a ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) => x ^ 4 + (tx) ^ 4 = a ^ 2 (x ^ 2 + (tx) ^ 2) = > $$$$ x ^ + t ^ 4x ^ 2 = a ^ 2 (1 + t ^ 2) => x ^ 2 = a ^ 2 \ 2 frac<1+ t^4> = X = o \ sqrt<\frac<1+ t^4>> $$ substitui ecuația pentru \ (y \) $$ y = tx => y = t o \ sqrt<\frac<1+ t^4>> $$ derivati ​​compute \ (x '\) și \ (y' \) $$ x „= (a \ sqrt<\frac<1+ t^4>>) '= \ Frac \ sqrt> \ frac' = o \ sqrt> \ frac $$ echivala primul derivat cu 0, și de a găsi punctele staționare $$ x „= a \ sqrt> \ frac = 0 => t (1 - 2t 2 ^ -t ^ 4) = 0 => t_1 = 0, t_2 = \ sqrt $$ determina semnul derivatului în jurul acestor puncte, obținem

primesc, la punctul \ (t = \ sqrt; x = o \ frac; y = a \ sqrt> \) modificări derivate semn de la + la - adică Acest punct de maxim
necesare pentru a determina punctul de intersecție cu axa \ (y \), cu axa \ (x \) are deja - extremă. \ (X = 0, x ^ 4 + y ^ 4 = a ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) => y ^ 4 = a ^ 2y ^ 2 => y = a \)

Se aplica punctul de pe sistemul de coordonate cartezian, construi o curbă în primul chetvetri, apoi harta simetric în raport cu axa \ (Ox \), apoi \ (Oy \) și obține următoarele reschultat