Ecuația string ieșire

Luați în considerare lungimea șirului l

Șirul va fi numit fir elastic întins subțire.

La construirea unui model matematic al șirului vibratoare vom considera mici vibrații care apar în același plan. Să șir Quiescent este situat de-a lungul axei Ox în intervalul [0, l] și la fiecare punct de oscilație este deplasată perpendicular pe axa (oscilație transversală). Apoi, orice abatere a șirului la orice moment de timp, este o funcție de U U (x, t) (a se vedea. Figura 2).

Să presupunem că tensiunea este atât de mare încât forța de gravitație și rezistență la încovoiere poate fi ignorată. In plus, din cauza micimea vibrațiile vor fi neglijate și valori de ordin superior este mică în comparație cu derivatul ux.

Alegem o secțiune șir de mici (a se vedea. Figura 3) și ia în considerare forțele care acționează pe ea. Deoarece șirul nu rezistă îndoire, tensiunea este îndreptată la o tangentă la șirul de x. Mai mult decât atât, putem presupune valoarea forței de tensiune constantă, în conformitate cu presupunerile noastre. De fapt, lungimea oricărei porțiuni a unui șir de caractere

Ux 2 pot fi neglijate). Din moment ce a fost consecvent, în conformitate cu legea lui Hooke.

lăsa # 961; (X) - densitatea lineară la punctul x. și # 947; (X t.) - densitatea forțelor exterioare care acționează asupra șir la timpul t și direcționat perpendicular Ox.

Forța rezultantă care acționează asupra secțiunii string [x. x + # 8710; x] în direcția perpendiculară pe axa OX. este (vezi. fig. 3)

.

În această formulă derivarea ia în considerare faptul că micile oscilații

Conform legii a doua a lui Newton produsul masei și accelerație egală cu forța care acționează mw = F. unde w = utt. prin urmare

Împărțind ambele părți de condus și Ax Ax la zero:

Această ecuație se numește o ecuație a vibrațiilor forțată a unui șir de caractere. Dacă șirul este omogen, adică, # 961; (X) = const. atunci ecuația (3) este de obicei scrisă sub forma

Utt = a 2 uxx + f (x. T), în cazul în care un 2 = T 0 / # 961; ; f (x. t) = # 947; (X. T) / # 961; .

În cazul în care șirul nu este acționat de forțe externe, obținem ecuația de oscilație liberă a șirului

Ecuațiile (3) și (4) sunt ecuațiile undelor unidimensionale (respectiv, eterogene și omogene).

Wave aceste ecuații sunt numite, deoarece ele descriu propagarea tulburărilor slabe într-un mediu elastic (adică vibrații mecanice cu amplitudini mici), care în fizică se numește valuri. ecuații Wave apar, de asemenea, probleme de oscilații electrice în hidrodinamică și acustică în teoria elasticității, studiul câmpurilor electromagnetice.

Condițiile inițiale și condiții limită.

ecuațiilor diferențiale cu derivate parțiale, în general, au un număr infinit de soluții. Pentru a selecta din acest set este singura soluție care corespunde procesului fizic real (de exemplu, vibrația coardelor), este necesar să se stabilească anumite condiții suplimentare. Teoretic, ecuații diferențiale parțiale, precum și în ecuațiile diferențiale care definesc condițiile, numite (de frontieră), condițiile inițiale și la limită. Condițiile inițiale din fizica matematică corespund stadiului procesului fizic la momentul inițial, care este luată de obicei ca t = 0. Rezultatul este o problemă Cauchy. Cu toate acestea, există unele diferențe. În primul rând, condițiile inițiale sunt stabilite pentru ecuații dependente de timp, adică aceste ecuații, care descriu procesele tranzitorii (dependente de timp). Aceste ecuații sunt, de exemplu, ecuația de undă și ecuația conducției căldurii. În al doilea rând, problema Cauchy pentru ecuații diferențiale parțiale are o soluție unică numai atunci când ecuația este considerată adecvată sau pe întreaga linie sau pe întregul plan, sau în întreg spațiul. De exemplu, poate fi o problemă de fluctuație a șirului nesfârșit sau propagarea căldurii într-o tijă infinit. În practică, astfel de probleme vin în cazul în care există un șir foarte lung, sau o tijă de foarte mult timp și sunt interesați în procesele care au loc departe de capete, și influența tuturor neglijate. Dacă luați, să zicem, un fir lung și se agită ușor în mijloc, atunci va rula la stânga și la dreapta valuri. Imaginea devine distorsionată numai atunci când undele ajung la capetele firului și, după reflecție, du-te înapoi. În consecință, fără a lua în considerare impactul tuturor, noi, astfel, nu va lua în considerare influența undelor reflectate.

Pentru ecuația undelor utt = a 2 uxx set două condiții inițiale U | t = 0 = # 966; (X), Ut | t = 0 = # 968; (X). Uneori, ele sunt scrise în mod diferit: U (x 0.) = # 966; (X), Ut (x. 0) = # 968; (X). Prima condiție specifică forma inițială fizică a șirului (punctele inițiale de deviere ale șirului), iar a doua condiție - viteza inițială a punctelor șir. În cazul utt = o ecuație 2 val # 916; U pe planul sau în spațiu sunt date aceleași două condiții inițiale, numai funcțiile # 966; și # 968; . respectiv, va depinde de două sau trei variabile.

Dacă dimensiunea șirului sau tija nu este foarte mare, iar influența tuturor nu poate fi neglijată, în aceste cazuri, unele condiții inițiale nu garantează unicitatea soluției. Apoi, este necesar să se stabilească condițiile pe capete. Acestea sunt numite condiții limită sau condiții la limită. Pentru ecuația de vibrație șir de multe ori stabili condiții U | x = 0 = 0, U | x = l = 0. Altfel, ele sunt înregistrate și un alt cârlig: (l. t) U (0, t) = 0, U = 0. Aceste condiții înseamnă fizic că capetele șir sunt fixe (adică devierea la x = 0 și x = l, în orice moment egal cu zero). Este posibil să se stabilească alte condiții în capetele șir, de exemplu, Ux | x = 0 = 0. Ux | x = l = 0. Aceste condiții apar următoarea problemă.

Să capete sruny muta-a lungul ghidajului vertical fără frecare (vezi. Figura 4).

Deoarece forțele verticale care acționează pe capetele din stânga și din dreapta ale șirului sunt definiți expresiile T 0 Ux (O. t) și T 0 Ux (l, t) (vezi fig. 2), condiția înregistrată mai sus înseamnă că capetele șir nu sunt nu există nici o putere (care este motivul pentru care astfel de condiții este numit, de asemenea, termenii capetelor libere).

După cum sa menționat deja, ecuația undei utt = a 2 uxx descrie nu numai vibrațiile unui șir, dar alte procese de undă, de exemplu, vibratiile longitudinale ale arcului, vibratiile longitudinale ale unei tije, oscilații a arborelui de torsiune. În aceste probleme, există condiții la limită și alte specii. Detalii astfel de probleme, nu vom învăța. Cu toate acestea, principalele tipuri de condiții limită. De obicei, luate în considerare trei tipuri:

Aceste condiții sunt înseamnă că fizic capetele sunt setate moduri de oscilații.

Aceste condiții corespund cu ceea ce este la capetele unui anumit forță.

Aceste condiții corespund capătul fixat elastic.

Condițiile la limită (5), (6) și (7) se numesc omogene dacă laturile drepte ale g1 (t) și g2 (t) este identic egal cu zero pentru toate valorile t. În cazul în care cel puțin una dintre funcțiile din laturile din dreapta nu sunt egale cu zero, atunci condițiile limită sunt numite mixte.

În mod similar, condițiile limită sunt formulate în cazul a trei sau patru variabile, cu condiția ca una dintre aceste variabile - de timp. T ranitsey în aceste cazuri, va fi fie curba închisă T delimitând o anumită zonă plană sau suprafață închisă # 937;, care mărginește regiunea în spațiu. În consecință, modificarea și derivata funcției, apărând în condițiile limită al doilea și al treilea tip. Acest lucru va fi normal derivatul D n la curba în plan sau la suprafață # 937; în spațiu, și sunt în general considerate normale, exterioare câmpului (vezi Fig. 5).

De exemplu, condiția la limită (uniforme) a primului tip în plan poate fi scris ca U | # 915; = O, în spațiul U | # 937; = 0. Starea limita celui de al doilea tip în avion este dat, și „>. Desigur, semnificația fizică a acestor condiții sunt diferite pentru diferite sarcini.

În stabilirea condițiilor inițiale și la limită, apare problema găsirii de soluții ale ecuației diferențiale udoletvoryaet specifica (margine) condițiile inițiale și la limită. Pentru ecuația de undă (3) sau (4), condițiile inițiale U (x, 0) = # 966; (x), Ut (x, 0) = # 968; (x), în cazul primei condiții tip de delimitare (5), sarcina este numita prima problemă inițială valoare pentru ecuația undelor. Dacă, în loc de primul tip condiții limită definesc condițiile pentru al doilea tip (6) sau al treilea tip (7), sarcina va fi numit, respectiv, a doua și a treia problemă inițială valoare. În cazul în care condițiile la limită pe diferite părți ale frontierei sunt de diferite tipuri, astfel de probleme valoare inițială sunt numite mixte.