Echivalența formulelor - studopediya
Diferite formule pot fi aceeași masă de adevăr. Astfel apare conceptul de formule de echivalenta.
Două formule de F1 și F2 algebră sunt numite declarații echivalente (echivalent), în cazul în care sunt aceeași masă de adevăr. Echivalența formulelor este notat cu F1 ≡F2. Este necesar să se facă distincția între simboluri și ↔ ≡. ↔ simbol este un simbol al unui limbaj formal, care este construit cu ajutorul formulei; ≡ simbol înlocuiește cuvântul „echivalent“. Rețineți că raportul de echivalență este o relație de echivalență. În plus, următoarele afirmații:
1. În cazul în care cele două sunt echivalente PF și una dintre ele include variabile care nu sunt în cealaltă, PF acestor variabile nu depinde (aceste variabile sunt numite fictive).
2. În cazul în care două sunt echivalente PF, negarea lor este, de asemenea, echivalentă.
3. Dacă două echivalente PF toate aparițiile unei variabile este înlocuită cu orice formulă, rezultând noua PF va fi echivalentă.
Pentru oricare dintre formulele X, Y, Z avem următoarea echivalență (legile algebrei propozitionale):
6. (Act dublu negativ);
7 .. (legile De Morgan);
8 .. . . . . (Legile care guvernează acțiunea cu constante);
9 .. (Cu excepția implicație și echivalenței);
10. (excepție disjuncție);
11. (excepție conjuncția).
Orice echivalență poate fi ușor dovedită fie prin utilizarea de tabele de adevăr sau transformări să fie echivalente. Să ne dovedesc, de exemplu, una dintre legile De Morgan.
Pentru a face acest lucru, să elaboreze un tabel de adevăr pentru PF, în picioare pe partea stângă și dreaptă ale expresiilor și să le compare.
Cunoașterea legilor algebrei propozițiilor permite în valoare de a converti orice formule logice, păstrând valorile lor pentru orice set de variabile propoziționale. Exemplele următoare sunt considerate echivalent cu a converti operații logice de bază.
operațiune de echivalență Ie este întotdeauna posibil să se înlocuiască operațiunile de implicare și conjuncție și disjuncție și negație.
Exemplu. X «Y ° Ù ÚX Ùº Y.
exemple REALIZAT arată că orice formulă booleană poate fi înlocuită cu formula echivalentă conținând în loc de echivalență sau implicație doar două operații logice: disjuncție și negație sau conjuncție și negație. Acest fapt arată că o pluralitate de conector logic disjuncție și negație, conjuncție și forma negației sisteme algebrice complet funcțional. Ele sunt suficiente pentru a exprima orice funcție logică
Dacă formula F conține subformulă Fi. substituția în formula subformulă Fi F per echivalent-ing s formula Fj nu modifică valoarea formula F cu orice set de variabile propoziționale. Dacă aveți nevoie de o schimbare în formula F în loc de formula Fi formulă nouă Fj. necesitatea de a efectua această operație pe tot parcursul simbol Fi.
Termeni de transformări complexe de înlocuire și să împuternicească de substituție echivalente valență formule declarații.
Conversia pentru a simplifica expresii algebrice.
1) Clear peste tot logic ® conjunctiv:
2) Aici este negarea legii lui de Morgan:
3) o conversie pe legea distributiv: F = (X1 Ú ) Ù ÚX2 Ù Ú X3;
4) Scoateți elementul (X1 Ú ) Ca (X1 Ú ) = 1:
5) o conversie pe legea distributiv: F = Ú(X2 ÚX3) Ù ( Ú X3);
7) Se aplică legea asociativă: F = ( ÚX2)ÚX3;
8) echivala valoarea "adevărată" cu formula X. t. K. ( ÚX2) = 1: F = 1ÚX3 = 1.
Exemplu. Având în vedere argumentul „sau adevărat, că Petru a mers la Universitatea (A), și nici nu este adevărat că Petru nu a sosit, iar Andrei nu a fost introdus, sau Petru a intrat și Simon sa alăturat (C), sau chiar Petru a făcut, și Simon a plecat, și Andrew a făcut (B)“.
declarații complexe Formula este următoarea:
1) transforma formula, folosind legea de Morgan, obținem o Ù(A ÚÎn)ÚA ÙC ÚA Ù ÙC;
2) se aplică idempotența lege:
3) Se aplică legea distributivă a unei variabile:
4) Legea distributivă este aplicabilă variabilei C:
5) introduce o constantă 1:
6) Se aplică legea distributiv pentru subformulă (A ÚB), obținem:
7) șterge (1ÚC), obținem:
8) se aplică legea de absorbție, obținem: A.
Prin urmare, în această declarație se afirmă doar că Petru a mers la universitate, și despre Andrei și Simon este nici o informație.
Exemplu. Șase copii de școală - Andrew, Boris, Gregory, Dmitri, Eugene si Simon - au participat la concurs. Doi dintre ei au fost rezolvate toate problemele. Întrebat care a rezolvat toate problemele răspunsul: 1) Andrei și Dmitry; 2) și Eugene Boris; 3) Eugene și Andrew; 4) Boris și Gregory; 5) Simon și Andrei. În patru dintre aceste răspunsuri o parte este falsă, cealaltă adevărat. Într-una - ambele părți sunt greșite. Cine a hotărât toate problemele?
A = «a decis toate problemele";
B = „Boris a decis toate problemele“;
T = „Grigorie a decis toate problemele“;
D = „Dmitri a decis toate problemele“;
E = „Eugene a decis toate problemele“;
C = „Simon a decis toate problemele.“
Deoarece unul dintre răspunsurile ambelor părți sunt greșite, iar restul - unul, este necesar să se creeze cinci formule care să reflecte cele cinci declarații diferite:
Ù Ù ( ÙE ÚB Ù ) Ù ( ÙA ÚE Ù ) Ù ( ÙD ÚB Ù ) Ù
Ù ( ÙA ÚC Ù );
Ù Ù ( ÙD ÚA Ù ) Ù ( ÙA ÚE Ù ) Ù ( ÙD ÚB Ù ) Ù
Ù ( ÙA ÚC Ù );
Ù Ù ( ÙD ÚA Ù ) Ù ( ÙE ÚB Ù ) Ù ( ÙD ÚB Ù ) Ù
Ù ( ÙA ÚC Ù );
Ù Ù ( ÙD ÚA Ù ) Ù ( ÙE ÚB Ù ) Ù ( ÙA ÚE Ù ) Ù
Ù ( ÙA ÚC Ù );
Ù Ù ( ÙD ÚA Ù ) Ù ( ÙE ÚB Ù ) Ù ( ÙA ÚE Ù ) Ù
Ù ( ÙD ÚB Ù ).
Presupunând că º1 și º1, prima formulă poate fi scrisă ca:
Ù Ù ( ÙE ÚB Ù ) ÙE Ù Ù ( ÙD ÚB Ù ) ÙC Ù .
t. Pentru a. Membrul ÙUn º0.
Presupunând că º1 și º1, a doua formulă poate fi scrisă ca:
Ù Ù ( ÙD ÚA Ù ) Ù ÙA Ù ÙD Ù ( ÙA ÚC Ù )
t. Pentru a. Membrii E Ù º0 și B Ù º0.
Presupunând că º1 și º1, a treia formulă poate fi scrisă ca:
Ù Ù ÙDÙBÙ Ù ( ÙDÚBÙ )ÙCÙ .
t. Pentru a. Un membru Ù º0, ÙE = 0, și ÙUn º0.
Presupunând că º1 și º1, a patra formulă poate fi scrisă ca:
Ù Ù( ÙD ÚA Ù )Ù ÙE Ù( ÙA ÚE Ù )Ù( ÙA ÚC Ù ), T. To. Membrul B Ù º0.
Presupunând că º1 și º1, a cincea formula poate fi scrisă ca:
Ù Ù ÙD Ù ( ÙE ÚB Ù ) Ù E Ù Ù ( ÙD ÚB Ù )
t. Pentru a. Un membru Ù º0.
Aplicarea legii distributiv, idempotența și achiziții, aceste formule pot fi simplificate după cum urmează:
Ù Ù ÙE ÙD ÙC;
Ù Ù Ù ÙA ÙT;
Ù Ù ÙD ÙC ÙB;
Ù Ù ÙD ÙE ÙC;
Ù Ù ÙD ÙE ÙR.
În conformitate cu termenii problemei doar doi participanți a rezolvat toate problemele. Prin urmare, formulele care conțin trei variabile propozitionale fără negație, nu îndeplinesc condițiile stipulate, și una care conține doar două variabile, fără negație, îndeplinește condițiile problemei. acest Ù Ù Ù ÙA ÙG. Prin urmare, toate obiectivele pentru Olimpiada au decis Andrei (A) și Gregory (D).