Dispunerea reciprocă a liniilor în plan

Linia pe planul

Dispunerea reciprocă a liniilor în plan. Unghiul dintre liniile drepte de pe plan. Distanța de la un punct la o linie pe un plan

Arată condițiile în care în paralel, se intersectează aceleași linii în plan. Se consideră cazul în care setul canonic direct, partajat sau ecuațiile cu pantă. Învață să găsiți cosinusul unghiului dintre liniile care se intersectează și coordonatele de intersecție a acestora. Aflați pentru a găsi distanța de la un punct la o linie trasată pe planul și distanța dintre liniile paralele.

1) Elevii trebuie să știe:

- condițiile în care liniile se intersectează, în paralel, identic, în cazul în care linia este definită prin ecuațiile generale, ecuațiile canonice cu pantă;

- condițiile în care liniile sunt perpendiculare;

- o formulă pentru a găsi distanța de la un punct la o linie trasată pe planul;

- o formulă pentru găsirea cosinusul unghiului dintre liniile care se intersectează, în cazurile în care directe date ecuațiile generale, ecuațiile canonice cu pantă.

2) Studenții ar trebui să poată:

- constata poziția relativă a liniilor în plan;

- găsirea unghiul dintre planul;

- găsirea distanța de la un punct la o linie dreaptă pe planul;

- pentru a găsi distanța dintre liniile paralele de pe plan.

Dispunerea reciprocă a liniilor în plan

Liniile din avion pot coincide, se suprapun sau să fie paralele.

1. Să planul definit ecuațiile generale ale două linii drepte L 1 și L 2:

și în care - liniile vectorii normali L 1 și L 2, respectiv.

a) sunt aceleași, în cazul în care

- vectorul normal al liniei sunt coliniare. și, prin urmare, coordonatele lor sunt proporționale;

- un punct care se află pe prima linie, este, de asemenea, a doua linie dreaptă

b) în cazul în paralel

- vectorul normal al liniei sunt coliniari, și, prin urmare, coordonatele lor sunt proporționale;

- un punct care se află pe prima linie, nu pe a doua linie.

c) se intersectează, în cazul în care vectorul normal al liniei sunt coliniari, și, prin urmare, coordonatele lor nu sunt proporționale, adică. e.

2.Pust planul specificat de linia L 1 și L 2 sunt ecuațiile canonice:

a) sunt aceleași, în cazul în care

- directă vectorii direcție sunt coliniari și, prin urmare, coordonatele lor sunt proporționale;

- un punct care se află pe prima linie, este, de asemenea, a doua linie dreaptă

b) în cazul în paralel

- directă vectorii direcție sunt coliniari și, prin urmare, coordonatele lor sunt proporționale;

- un punct care se află pe prima linie, nu pe a doua linie.

c) se intersectează, în cazul în care vectorii de direcție directă non-coliniari și, prin urmare, coordonatele lor nu sunt proporționale, adică. e.

3.If linii L 1 și L 2 sunt date de ecuațiile cu pantă

a) să coincidă dacă k 1 = k 2 și b = 1 b 2;

b) în cazul în paralel k 1 = k 2 și b 1 ¹ b 2;

c) dacă se intersectează k ¹ k 1 2.

Unghiul dintre liniile drepte în planul

Unghiul dintre două linii care se intersectează este cea mai mică dintre unghiurile formate de intersecția liniilor.

1. Să plane definite liniile L 1 și L 2 ecuații generale:

Apoi cosinusul celui mai mic unghi dintre liniile drepte L 1 și L 2 în planul este cosinus modulo egal unghiul dintre vectorii normali ai acestor linii:

Dacă L directă 1 și L2 sunt perpendiculare pe vectorii lor normal perpendicular, și, prin urmare, produsul scalar al vectorilor normali ar trebui să fie egală cu zero, adică. F ..

Linii 2.Pust L 1 și L 2 sunt definite ecuațiile canonice:

Apoi cosinusul celui mai mic unghi dintre liniile drepte L 1 și L 2 este egală cu valoarea absolută a cosinusul unghiului dintre vectori direcția liniilor:

2. Lăsați liniile L1 și L2 sunt definite prin ecuații cu pantă

Apoi unghiul cel mai mic dintre liniile tangente L 1 și L 2 pot fi găsite din formula:

unde k 1 și k 2 - pantele liniilor L 1 și L 2.

Evident, cele două linii sunt paralele în cazul în care coeficienții lor unghiulare sunt egale.

Astfel, starea de paralelism a două linii:

Dacă două linii sunt perpendiculare, t. E. Unghiul # 966; = P / 2, obținem

Acest lucru va avea loc atunci când

1 + k 1 x k 2 = 0, adică. E. K 1 x k 2 = -1.

Astfel, starea de perpendicularitate a două linii drepte:

Distanța de la un punct la o linie pe un plan

Distanța de la punctul de la linie, care nu conține acest punct, este lungimea perpendicularei trasată de la un punct de pe această linie.

Distanța de la punctul de la linia poate fi calculată:

1) Deoarece lungimea segmentului perpendicular, în cazul în care vă puteți transforma acest segment într-un triunghi ca unul dintre înălțimile;

2) Folosind un dispozitiv - metoda vector.

Să planul specificat de linia L și M. Punctul nu face parte din această linie

distanța dintre punctul M 0 (x 0, y 0) la linia L.

Notă. Distanța dintre două linii paralele în plan pot fi găsite pe ultima formula, atunci când găsirea distanța de la orice punct aparținând unei linii la o altă linie.

Sunt coordonatele punctelor A (4, 1), B (2, -1), C (-3, 5). Găsiți unghiul dintre mediana și înălțimea trasată de la vârf A.

Scriem ecuația înălțimii AH. Pentru orice punct M (x. Y), situată pe o linie dreaptă AH, vectorul perpendicular pe vectorul, și astfel, produsul scalar al acestor vectori trebuie să fie egală cu zero, adică. F ..

Deci, ecuația de AH înălțime:

Scriem mediana ecuației extrase din punctul A. Să ne găsim coordonatele punctului D. Punctul D - segmentul de mijloc BC. prin urmare, coordonatele sale pot fi găsite ca și coordonatele medii ale punctelor B și C. Coordonatele punctelor B (2, -1) și C (-3, 5), în timp ce coordonatele unui punct D:

Pentru orice punct N (x. Y), situată pe AD median. coliniare vector cu, și, prin urmare, coordonatele acestor vectori ar trebui să fie proporționale. Noi găsim coordonatele vectorilor:

Scriem condiția proporționalității coordonate:

Prin proprietatea proporțiilor obținem:

Am primit o ecuație generală AD mediană:

Cosinusul celui mai mic unghi între linii este egal cosinus modulo unghiului dintre vectorii normali ai acestor linii.

Ecuația liniei AH: Apoi, vectorul normal al acestei linii -. Ecuația liniei AD. . Apoi, vectorul normal al acestei linii -.

Sunt coordonatele punctelor A (4, 1), B (2, -1), C (-3, 5). Găsiți distanța de la punctul A la linia BC.

Scriem ecuația liniei BC. Pentru orice punct N (x. Y), situată pe o linie dreaptă BC. coliniare vector cu, și, prin urmare, coordonatele acestor vectori ar trebui să fie proporțională cu:

Multiplicarea proporțiile de proprietate, trece la ecuația generală a liniei:

Apoi, ecuația generală a liniei BC:

Punctul A (4, 1) BC. Distanța de la un punct la o linie trasată pe planul poate fi găsit prin formula:

A: Distanta de la punctul A la linia BC este egal.

Se verifică poziția relativă a liniilor L 1 și L 2. Dacă liniile se intersectează, găsi unghiul dintre ele și coordonatele punctului de intersecție, și dacă este paralelă, găsi distanța dintre ele:

Scriem coordonatele vectorilor normali linii L 1 și L 2:

L 1: apoi - vectorul normal al liniei L 1;

L 2: apoi - vectorul normal al liniei L 2.

Găsiți raportul dintre coordonatei vectori normali directe:

Deoarece coordonatele vectorilor normali sunt proporționale, vectorii și sunt coliniari, și, prin urmare, liniile L 1 și L 2 sunt fie paralele sau coincid.

Liniile sunt paralele, deoarece

Distanța dintre liniile vor găsi, ca distanța de la punctul M 1 situată pe linia L 1 linie dreaptă L 2 cu formula:

Am găsit coordonatele punctului M 1 aparținând liniei L 1. În acest sens, una dintre coordonatele, cum ar fi y 0, presupusă a fi zero, 0 dacă x = 4, atunci punctul.

A: Liniile sunt paralele, distanța dintre ele este egal.

Noi găsim vectorii direcția liniilor L 1 și L 2:

coordonatele vectorilor de direcție nu sunt proporționale. Prin urmare, L directă 1 și L2 se intersectează.

Cosinusul unghiului dintre liniile cel de egal cu modulul cosinusul unghiului dintre vectorii de direcție ale liniilor.

Găsim coordonatele punctului de intersecție al liniilor L 1 și L 2. Pentru a face acest lucru, obținem ecuația generală a acestor linii.

Lăsați punctul M (x 0, y 0) - punctul de intersecție al liniilor L 1 și L 2. Apoi coordonatele punctului M trebuie să satisfacă ambele ecuații. Noi rezolva sistemul de ecuații:

Prin urmare, punctul de - punctul de intersecție al liniilor L1 și L2.

A: Liniile se intersectează, punctul de intersecție al liniilor - perioada.

Sarcini pentru asimilarea materialului studiat.

1. Găsiți distanța de la punctul A (-4, 1) la o linie care trece prin punctul B (1, -1), C (1, 5).

2. Se determină poziția relativă a directe și.

3. Găsiți punctul de intersecție al medianele triunghiului ale căror vârfuri sunt punctele

4. Găsiți intersecția altitudinile unui triunghi ale cărui vârfuri sunt punctele

5. Scrieți ecuația liniei care trece prin punctul 450 și de a face un unghi cu o linie dreaptă.

6. Găsiți unghiul dintre liniile și

1. Pentru ce valori ale parametrilor sunt drepte si paralele? la fel? se intersectează?

2. Pentru ce valori ale parametrilor sunt drepte si paralele? la fel? se intersectează?

3. Pentru ce valori ale parametrilor sunt drepte si paralele? la fel? se intersectează?

4. Găsiți unghiul dintre intersectându linii,?

5. Cum de a găsi coordonatele punctelor de intersecție ale liniilor?

6. Cum de a găsi distanța dintre liniile paralele?

7. Pentru ce valori ale parametrilor sunt drepte si paralele? la fel? se intersectează?