Dimensiunea spațiului liniar

Luați în considerare un R. arbitrar spațiul real

Definiție 3.1. Linear spațiu numit R n-dimensional, dacă există elemente n liniar independente, și orice (n + 1), elementele deja sunt liniar dependente. Numărul n se numește dimensiunea spațiului R.

Dimensiunea spațiului este notată cu dim.

Definiția 3.2. Spațiul liniar R este infinit, dacă există un număr de elemente liniar independente.

Teorema 3.3. Să presupunem că R este un spațiu liniar de dimensiune n (dim R = n). Apoi, orice n liniar elemente independente ale acestui spațiu constituie baza ei.

Dovada. Deoarece R este un spațiu n-dimensional, definiția 2.1 care conține o pluralitate de n elemente liniar independente. Fie x - orice element al R. Apoi, conform definiției 3.1 sunt liniar dependente, adică, există numere (nu toate zero), astfel încât egalitatea

reţineţi că # 955; 0 ≠ 0 deoarece în caz contrar, ecuația (3.1) a fost urmat că elementele sunt liniar dependente. Împărțind ecuația (3.1) # 955; 0 și punerea