Diferențierea funcțiilor de o variabilă

Definiția. Derivata funcției în momentul în care relația este limita funcției de creștere în acest moment la incrementarea argumentul (cu condiția ca această limită există).

Derivatul sau punctul notat.

Deci, prin definiție, avem un derivat:

Procesul de constatare a derivatului se numește diferențiere.

semnificația geometrică a derivatului. pentru această funcție derivata pentru fiecare valoare egală cu panta tangentei la graficul punctului corespunzător.

Sensul fizic al derivatului: pentru această funcție. schimbare a lungul timpului x. derivatul său este rata de schimbare a funcției y la un moment dat x.

1) În cazul în care u și v sunt derivabile la x0. atunci suma lor este diferențiabilă în acest moment și

(Derivatul sumei suma derivatelor bobinate).

2) Dacă u și v sunt derivabile la x0. atunci produsul lor este diferențiabilă în acest moment și

3) În cazul în care u și v sunt derivabile la x0 și funcția v nu este egal cu zero, în acest punct, atunci coeficientul este derivabila la acest punct și;

4) În cele mai multe cazuri practice, procesul de diferențiere este redusă la găsirea unui derivat al funcției complexe

În cazul în care argumentul x este cel mai recent dintr-un lanț de dependențe funcționale, vom numi variabila independentă (pentru a sublinia faptul că o schimbare a acestui argument nu depinde de comportamentul altor variabile). regula de diferențiere a funcțiilor compuse rezultă din teorema următoare.

Teorema. Dacă - funcția diferențiabilă argumentelor sale, derivata unei funcții compozit există și este egală cu derivata acestei funcții la argumentul intermediar și înmulțit cu derivatul argumentului intermediar, iar variabila x independente, adică ...

Dacă funcția este diferențiabilă în punctul x m. E. La acest punct are un derivat finit care increment acestuia poate fi scris ca

Acasă, liniar în raport cu creșterea funcției se numește funcția diferențială și notat

Instrumente financiare derivate de ordin superior

Derivatul se numește derivata primului ordin. Derivatul derivatului numit de ordinul doi (sau derivata a doua) a funcției și este notat cu sau. Derivatul derivatului menționat de ordinul trei (sau a treia derivata) a funcției și este notată cu t, sau ambele. D.

Derivații de derivat ordine n-lea este derivata (n - 1). - comandă Th, adică.

Derivatele, pornind de la al doilea, numit derivați de ordin superior.

Rezolvarea sarcinilor tipice.

Sarcina 1. Folosind definiția unui derivat, funcția derivat de la un punct.

Decizie. Acordarea argumentului x la incrementare x0. găsi incrementul corespunzătoare funcției:

Am găsit limita acestui raport, atunci când:

În consecință, derivata funcției în punctul de număr egal. care pot fi scrise în notația noastră, după cum urmează:

Sarcina 2. Folosind regulile și formulele de diferențiere pentru a găsi derivați de funcții:

Principalele proprietăți ale indefinit integralei

1) Derivatul integralei nedefinită este egal cu integrantul; diferențială integrală nedefinită este egal cu integrandul, r. f.

2) determinat prin diferențială integrantă a unei funcții este suma funcțiilor și o constantă arbitrară, t. E.

3) Un factor constant poate fi scos din - .. Sub semnul integral, și anume, dacă este k = const¹0,

4) Integrala nedefinită suma algebrică a unui număr finit de funcții este egală cu suma algebrică a integralelor acestor funcții separat, adică. E.

Metodele de bază de integrare

Definiția integrale definite.

Fie funcția definită pe intervalul [a, b], un

în cazul în care cantitatea de forma (1) este suma integrală pentru funcția f (x) pe [a, b].

L denota lungimea celui mai lung segment de partiție parțial :.

Definiția. În cazul în care există o limită finită a sumei integrale I (1). această limită se numește definit integrala pe intervalul [a, b] Funcția f (x) și este desemnat după cum urmează:

În acest caz, funcția f (x) se numește integrabile pe [a, b]. Numerele a și b sunt numite limitele inferioare și superioare de integrare, f (x) - integrantul. x - variabila de integrare.

Pentru integrabilității continuității sale suficiente în intervalul [a, b].

Proprietățile de bază ale definit integral.

1) Prin definiție,

2) Prin definiție,

3) Indiferent de numărul de a, b, c, au întotdeauna egalitatea

4) Factorul constant poate fi luat ca un semn al unei definit integral, t. E.

5) definit funcția integrală a sumei algebrice egală cu suma algebrică a integralelor lor, t. E.

Newton - Leibniz.

Dacă funcția f (x) este continua pe intervalul [a, b] și F (x) este o funcție de primitivă sale pe acest segment, atunci formula Newton - Leibniz

Rezolvarea sarcinilor tipice

REF1. Găsiți primitiv pentru funcția.

1) Funcția este ușor de văzut că are aceeași derivat, și, prin urmare, este de asemenea primitivă pe R. Este clar că, în loc să puteți pune orice număr de 7 constante. Astfel, vedem că problema găsirii unui primitiv are infinit mai multe soluții.

2) Pentru funcția pe intervalul (0; + ¥) este o funcție primitivă. deoarece pentru toate x în intervalul. La fel ca în exemplul 1, funcția pentru orice C constantă este o funcție primitivă în același interval (0 + ¥).

3) Această funcție nu este primitiv pentru funcția pe intervalul. deoarece egalitatea nu este îndeplinită la 0. Cu toate acestea, în fiecare dintre intervalele, iar funcția F este o primitivă pentru f.

Sarcina 2. Evaluarea integralele:

1) Se calculează activitatea efectuată a unui mol de gaz ideal sub expansiunea izoterma inversă de

Soluție: Când o expansiune reversibilă a unui mol de gaz ideal sub presiune se realizează prin modificarea volumului de gaz cu o cantitate dV lucrare elementară dA = PDV. Expansiunea totala de lucru a gazului din V1 volumul inițial până la un volum final V2

2) viteza de translație a mișcare a corpului (m / s). Se determină traseul parcurs de către organism în primele 10 s după începerea mișcării.

Soluție: Din moment ce de unde

Fundamentele teoriei probabilitatilor

Teoria probabilităților - o ramură a matematicii, în cazul în care sunt studiate legile evenimentelor aleatoare.

Teoria probabilităților ar trebui să ofere o măsură cantitativă a probabilității fenomenelor aleatorii și să se bazeze pe această bază, un model matematic al relațiilor empirice aleatoare observate.

Testați și evenimente

Natura și viața de zi cu zi se confruntă deseori cu evenimente aleatoare, T. E. Cu situațiile, dintre care rezultatul nu poate fi prezis cu exactitate. Percepția proces realității în acest caz se efectuează ca urmare a observațiilor sau a testelor (experimente).

Testat (observație) este repetarea frecventă disponibilă a procesului care apar în implementarea unui anumit set de condiții.

Rezultatul sau rezultatul procesului este numit un eveniment.

Există trei tipuri de evenimente: casual, fiabile și imposibile.

Eveniment, care, în punerea în aplicare a unui anumit set de condiții pot apărea sau nu pot să apară, se numește aleatoriu.

Evenimentul, care are loc în mod inevitabil, atunci când fiecare punere în aplicare având în vedere set de condiții, numite valabile.

Evenimentul, care, evident, nu poate avea loc în punerea în aplicare a condițiilor, numit predeterminate complexe imposibil.

Tipuri de evenimente aleatoare

Evenimente aleatorii sunt împărțite în următoarele tipuri: la fel de probabil, și în comun inconsistente.

Două sau mai multe evenimente aleatoare sunt numite la fel de posibil, în cazul în care condițiile de aspectul lor sunt aceleași și nu există nici un motiv să se creadă că nici una dintre ele, ca urmare a testului este mai probabil să fie realizat decât altele.

Evenimentele sunt numite incompatibile dacă rezultatul testării punerii în aplicare a unuia dintre ele se opune punerii în aplicare a restului.

Două evenimente se numesc compatibile dacă aspectul uneia dintre ele nu împiedică apariția unei alte în același test.

Evenimente În mod colectiv exhaustive

Dacă rezultatul testului este obligat să facă unul și numai unul dintre evenimentele care se exclud reciproc. aceste evenimente sunt denumite evenimente în mod colectiv exhaustive.

Două evenimente care se exclud reciproc, formează un grup complet de evenimente numite opuse.

evenimente care au exclud reciproc aceeași oportunitate de a fi realizat, numit rezultatelor studiilor.

Rezultatele sunt numite favorabile pentru eveniment. în cazul în care exercitarea oricăreia dintre rezultatele este în același timp, punerea în aplicare a evenimentului.

evenimente manipulau

Definiția. Dacă fiecare punere în aplicare a unui set predeterminat de condiții în care are loc un eveniment. Aceasta are loc și evenimentul. atunci spunem că atrage după sine. și notat cu simbolul sau.

În cazul în care atrage după sine, în același timp, atrage după sine. și anume evenimente au loc ambele, sau ambele nu vin, atunci spunem că evenimentele și sunt echivalente, și notate cu simbolul.

Evenimentul, care constă în apariția ambelor evenimente și. Acesta a numit produsul (sau intersecția) și evenimente. și este notat cu sau.

Evenimentul, care constă în apariția a cel puțin unul dintre evenimentele și. (Posibil două dintr-o dată), aceasta se numește suma (sau uniune) și evenimente. și este notat cu un simbol sau

Evenimentul, care constă în faptul că are loc evenimentul, iar evenimentul nu are loc, se numește diferența dintre evenimente și. și este notat cu sau.

Anumite eveniment este indicată prin simbolul. și imposibilul - prin simbolul.

Eveniment, eveniment opus. notată cu simbolul.

Determinarea sumei și produsul a două evenimente pot fi generalizate la orice număr de evenimente.

Formula totală probabilitate

Lăsați evenimentul poate avea loc sub condiția unul și numai un singur eveniment din grupul plin de evenimente care se exclud reciproc. Deoarece nu se cunoaște care dintre aceste evenimente au loc, ele sunt numite ipoteze.

Să presupunem că este necesară probabilitatea acestor ipoteze și probabilitatea condiționată a unui eveniment A pentru a găsi probabilitatea de evenimente.

Teorema. Probabilitatea evenimentului. care poate avea loc numai cu condiția unuia dintre evenimente reciproc exclusive. formând un grup complet de evenimente. egală cu suma produselor probabilităților fiecare dintre aceste ipoteze la probabilitatea condițională corespunzătoare a evenimentului. .

Această formulă se numește formulă totală de probabilitate.

Să presupunem că un eveniment poate avea loc în condițiile unuia dintre evenimentele care se exclud reciproc (ipoteze). formând un grup complet de evenimente. Să probabilitățile sunt cunoscute de a experimenta.

Producerea de experiență, în urma căruia a evenimentului.

Necesar de a supraestima probabilitatea de ipoteze, cu condiția ca a avut loc evenimentul.

probabilitățile de reevaluare a ipotezelor poate fi realizată în conformitate cu testarea formula ipoteze (formula Bayes):

Astfel, probabilitatea ipotezei după experiența este o fracție, din care numărătorul este produsul probabilitatea acestei ipoteze la experiența privind probabilitatea de evenimente pe această ipoteză, iar numitorul - suma acelorași lucrări pentru toate ipotezele posibile în acest caz (sau probabilitatea totală a evenimentului).

5. Exemplul 5. magazin instalat senzori maxim concentrația prafului admisă în aer, fiecare dintre care poate include un sistem de alarmă. Probabilitatea de primul senzor este de 0.8 secunde - 0,9, al treilea - 0,85, a patra - 0,7, a cincea - 0,75. 1) Găsiți probabilitatea ca la atingerea activitatea maximă admisă de alarmă concentrație de praf? 2) alarmă declanșat. Care este probabilitatea ca alarma este activat un al treilea senzor?

Să evenimentul este faptul că alarma a fost oprit. Acest eveniment poate avea loc numai în cazul în care unul dintre evenimentele incompatibile - comutare senzor de semnal. Probabilitatea de starea evenimentului sunt aceleași și egale. Evenimentele formează un grup complet ca .

Cunoscut probabilitatea condiționată a evenimentului - probabilitatea de exploatare a senzorilor :. . . . .

1) se calculează probabilitatea unui eveniment prin formula probabilității totale:

2) evenimentul a avut loc. Condițional Probabilitatea ca acest al treilea senzor de sarcină (eveniment) găsit pe formula Bayes :. sau

Răspuns: 1) probabilitatea ca după atingerea concentrației maxime admisă alarma de praf să sune este;

2) probabilitatea ca alarma atunci când aceasta a inclus un al treilea senzor, este egal.

Repetate de testare independente.

Să făcut încercări repetate independente, în care fiecare eveniment are aceeași probabilitate. fără funcție de numărul de conductoare-test (probabilitatea unui eveniment. eveniment opus. De asemenea, constantă și egală cu).

Este necesar pentru a găsi probabilitatea ca un eveniment se va întâmpla în testele exact o dată.

Această problemă este rezolvată prin formula Bernoulli:

Această formulă numită, de asemenea, formula de distribuția binomială, ca partea sa dreaptă este un termen general de extinderi binomiali.

Cu un număr mare de teste cu privire la calculul ecuației lui Bernoulli implică calcule greoaie. Pentru a evita aceste dificultăți, este recomandabil să se utilizeze o formulă, care să permită determinarea probabilității aproximative. . . . cu care are loc un eveniment.

Teorema locală Laplace

Teorema. Probabilitatea ca în studiile independente, în fiecare dintre care probabilitatea evenimentului este constantă și egală. eveniment are loc exact o dată, este aproximativ egal cu (mai precis mai mult):

Tabel pentru valori pozitive ale funcției este dată în Anexa 1 a acestui manual. Deoarece funcția - chiar, de exemplu, ... că pentru valori negative ale argumentului sunt aceeași masă.

1. Dispersia valoare constantă egală cu zero :. .

2. Un factor constant poate fi luat în afara semnul dispersiei, ea pătrat anterior :. .

3. Dispersia sumei mai multor variabile aleatoare independente reciproc este egal cu suma variațiilor acestor valori :.

4. Dispersia diferenței dintre cele două variabile aleatoare independente este egală cu suma variațiilor acestor valori :.

Nota 2. Pentru a calcula varianța distribuția binomială poate folosi următoarea formulă. unde - numărul de încercări; - probabilitatea evenimentului într-un singur proces; - probabilitatea unui eveniment (al evenimentului opus), într-un singur proces.

abaterea standard

Abaterea standard a variabilei aleatoare este rădăcina pătrată a varianței :.

Nota 3. Pe baza acestei definiții pentru a înțelege aceste caractere varianța des folosite.

Exemplul 1. dreptul de distribuție variabilă aleatoare set discret:

- așteptarea este prin definiție egală. sau = 62;

- dispersia prin formula sau;

- abaterea standard prin definiție egală. sau;

2) Pentru prepararea funcției de distribuție trebuie să utilizeze definiția și proprietățile sale: dacă valorile posibile ale variabilei aleatoare aparțin intervalului. Ce se întâmplă dacă. . în cazul în care:

3) Probabilitatea variabilei aleatoare care se încadrează în intervalul calculat prin formula. În acest caz. Prin urmare;

4) formează legea de distribuție a variabilei aleatoare. Pentru a face acest lucru, vom găsi toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare:

Probabilitatea. care ia valorile posibile sunt probabilități egale. și anume etc.

Astfel, legea de distribuție a variabilei aleatoare este de forma: