Diferențiabilității funcției într-un punct și pe un interval, soluție de problemă.

Derivata funcției, conform definiției sale matematice (1,5) și (1,6) - o anumită limită. Dar, ca orice limită, aceasta poate fi:

A) final; b) infinit; c) nu există.

Dacă pentru un anumit X au opțiunea (a), adică în cazul în care un derivat al X dat Există finit. această funcție este numit derivabile la x.

Funcția care este diferențiabilă la fiecare anumit interval tochkeX Ox (de exemplu, intervalul (A, B) sau intervalul [A; B]) este diferențiabilă pe acest interval. De altfel, procedura de calcul derivata funcției în sine este numit de diferențiere (caracteristică de diferențiere - înseamnă a găsi derivatul său) sa.

Sensul geometric al funcției derivat este definit de (1,11) și Fig. 4.5, implică următoarele două condiții ilustrative necesare și suficiente pentru o anumită funcție de diferențiabilității la un moment dat X:

1) Existența unei tangente la graficul de la un punct cu abscisa X.

2) tangenta non-verticală a acestei (pentru că nu există).

De exemplu, graficul funcției este prezentată în Fig. 4.7 nu este diferențiabilă la punctele X 1, X 2 și X 3.

Într-adevăr, punctul 1 X corespunde punctului de pe graficul M 1 cu o tangentă verticală. Punctul X 2 (funcție maximă punct) corespunde belvedere M 2, în care există tangenta. Punctul 3 X corespunde punctului M 3 - graficul breakpoint unei funcții, care este, de asemenea, tangent nu există.

În toate celelalte puncte M a graficului de tangenta la grafic, puteți petrece, și este non-verticală. Prin urmare, pentru toate celelalte decât X. (X1, X2, X3), funcția derivată. Aceasta este, în toate celelalte puncte X pentru functii derivabile.