Determinarea dimensiunii minimă a eșantionului

Estimarea intervalului probabilitatea de evenimente. Formula de calcul a numărului de probe cu metoda de auto-aleatoare de selecție.

Pentru a determina probabilitatea unui eveniment de interes pentru noi, folosim metoda de prelevare a probelor. efectua experimente n independente, fiecare dintre care se pot produce (sau nu apar) evenimentul A (probabilitate p de apariție a evenimentului A este constantă în fiecare experiment). Apoi relative evenimentele de frecvență p * ale evenimentului A într-o serie de studii n este luată ca punct de estimare pentru probabilitatea p de apariție a evenimentului A într-un proces separat. În acest caz, valoarea p * este numită fracțiunea de eșantionare de apariții ale evenimentului A și P - acțiuni generale.

Prin investigarea teoremei limită centrală (teorema lui Laplace-DeMoivre) frecvența relativă a evenimentelor atunci când un volum mare de probă poate fi considerată ca fiind distribuită în mod normal cu parametrii M (p *) = p și

De aceea, atunci când intervalul n> 30 încredere pentru proporția generală poate fi construită cu ajutorul formulei:

La volum mic eșantion n≤30 limită de eroare ε este determinată de tabelul t de distribuție Student.
în care tcr = t (k; # 945;) și numărul de grade de libertate k = n-1, probabilitatea # 945 = 1 # 947; (Zona duplex).

Formulele sunt valabile în cazul în care selecția a fost mod repetitiv aleatoare (populația generală este infinit), în caz contrar este necesar să se facă o corecție pentru selecție-repetiție liberă (tabelul).

Eroarea de eșantionare medie pentru cota generală

Volumul final al N

Eroarea medie de eșantionare

Formula de calcul a numărului de probe cu metoda de auto-aleatoare de selecție

Formula pentru determinarea numărului de probe

cota de sarcini generale

La întrebarea „intervalul de încredere se referă la valoarea prestabilită P0» - se poate răspunde prin verificarea statistică ipoteza H0: p = P0. Se presupune că experimentele efectuate de schema de testare Bernoulli (probabilitate independentă p de apariție a unui eveniment A este constantă). Proba de volum n p se determină frecvența relativă de apariție a evenimentului * A: unde m - numărul de apariții ale lui A într-o serie de n încercări. Pentru a testa ipoteza statisticilor H0 utilizate având o dimensiune suficient de mare a eșantionului este standard distribuția normală (Tabel. 1).
Tabelul 1 - Ipoteze despre cota generală

încercări Schema Bernoulli

Estimările bazate pe un eșantion

Statistica Distribuția K

standardul N normal (0,1)

Exemplul №1. Cu ajutorul unui management aleator al companiei re-eșantionare a avut loc o anchetă eșantion de 900 de angajați. Dintre respondenți, 270 de femei avansat. Construiți interval de încredere. 0,95 probabilitate care acoperă proporția reală a femeilor în jurul valorii de echipa companiei.
Decizie. Cu condiția femeii este selectiv (frecvența relativă a femeilor în rândul tuturor respondenților). Deoarece selecția se repetă și eșantion de dimensiune mare (n = 900), care limitează eroarea de eșantionare este determinată prin formula

UCR valoare găsi în tabelul raportului Laplace 2F (RUE) = funcția # 947;, adică Funcția Laplace (Anexa 1) are o valoare de 0,475 la UCR = 1.96. În consecință, eroarea maximă și intervalul de încredere dorit
(P - # 949;, p + # 949;) = (0,3 - 0,18, 0,18 + 0,3) = (0,12; 0,48)
Deci, cu o probabilitate de 0,95 se poate asigura faptul că proporția femeilor în întreaga echipă a companiei este în intervalul 0.12-0.48.

Exemplul №2. Proprietarul parcului auto este ziua „bun“ în cazul în care parcarea este umplut cu mai mult de 80%. 40 În parcarea de controale au fost efectuate în cursul anului, dintre care 24 au fost „de succes.“ Cu o probabilitate de 0,98 obține un interval de încredere pentru estimarea reală ponderea zilelor „de succes“ pe tot parcursul anului.
Decizie. fracție de eșantionare zile „de succes“ de
Prin funcția de tabelă Laplace vom găsi valoarea la un anumit UCR
nivel de încredere
F (2,23) = 0,49, UCR = 2.33.
Având în vedere selectarea-repetiție liberă (de exemplu, două controale nu sunt efectuate într-o singură zi), vom găsi greșeala final:
unde n = 40. N = 365 (zile). aici
și intervalul de încredere pentru proporția generală: (p - # 949;, p + # 949;) = (0,6 - 0,17, 0,17 + 0,6) = (0,43; 0,77)
Cu o probabilitate de 0,98 poate fi de așteptat ca ponderea zilelor „de succes“ pe tot parcursul anului, în intervalul 0.43-0.77.

Exemplul №3. 2500 elemente de verificare din lot, a constatat că 400 de produse de top grad, și n-m - nu. Cât de mulți au nevoie pentru a verifica produsele pentru a determina cu încredere cota de 95% din prima până la 0,01.
Noi căutăm o soluție de formula pentru determinarea numărului de probe pentru re-selectare.

F (t) = # 947; / 0,95 = 2/2 = 0,475 și valoarea mesei corespunde Laplace t = 1,96
proporția selectivă a w = 0,16; eroare de eșantionare # 949; = 0,01

EXEMPLUL №4. Produsele de partid este acceptată în cazul în care probabilitatea ca produsul va respecta standardele nu este mai mică de 0,97. Printre un eșantion aleatoriu de 200 de produse de partid auditate au dovedit 193 conforme. Fie la nivelul de semnificație # 945 = 0.02 pentru a lua petrecere?
Decizie. Formulăm principal și ipoteza alternativă.
H0: p = p0 = 0,97 - proporție necunoscută generală p este egal cu o valoare prestabilită p0 = 0,97. În ceea ce privește condiția - probabilitatea ca o parte a părții auditate va fi conform cu standardul, egal cu 0,97; și anume Produsele părți pot fi acceptate.
H1: p<0,97 - вероятность того, что деталь из проверяемой партии окажется соответствующей стандарту, меньше 0.97; т.е. партию изделий нельзя принять. При такой альтернативной гипотезе критическая область будет левосторонней.
K (tabel) se calculează semnificația statistică observată la valori dată p0 = 0,97, n = 200, m = 193

Vom găsi valoarea critică a tabelului funcției Laplace din ecuația

cu condiția # 945 = 0.02, prin urmare, F (Kcr) = 0,48 și p = 2,05. Stanga fata-verso regiunea critică, și anume, Este intervalul (-∞; -Kkp) = (-∞; -2,05). Valoarea observată = -0.415 Koba nu aparține regiunii critice, prin urmare, la acest nivel de semnificație este nici un motiv pentru a respinge ipoteza nulă. Produsele de partid poate lua.

EXEMPLUL №5. Două plante de același tip făcut părți. Pentru a evalua calitatea produselor obținute prin prelevarea de probe din aceste plante, și au fost obținute următoarele rezultate. Printre produsele selectate 200 din prima plantă 20 avansat defect, printre produsele de-a doua fabrică 300-15 defecte.
La un nivel de semnificație de 0,025 pentru a determina dacă există o diferență semnificativă în calitatea pieselor fabricate aceste plante.
Decizie. Este sarcina de a compara proporția generală a celor două seturi. Formulăm principal și ipoteza alternativă.
H0: p1 = p2 - cota generală sunt egale. În ceea ce privește condiția - probabilitatea de apariție a produselor defecte în producerea primei plante este egală cu probabilitatea de apariție a produselor defecte, în a doua fabrica de producție (calitatea producției de aceeași).
H0: p1 ≠ p2 - planta produce piese de calitate diferite.
Pentru a calcula semnificația statistică a observat K (tabel) pentru a calcula estimări ale eșantionului.

Valoarea observată este

Deoarece ipoteza alternativă față-verso, statistica critică K≈ N (0,1) găsim în funcția de tabelă a ecuației Laplace
cu condiția # 945 = 0,025 deci F (Kcr) = 0.4875 și p = 2,24. În subsidiar, o gamă bilaterală de valori admisibile este (-2.24; 2,24). Valoarea observată Knabl = 2,15 se încadrează în acest interval, adică, la acest nivel de semnificație nu există nici un motiv pentru a respinge ipoteza nulă. Planta produce produse de aceeași calitate.