Convex (concav) funcție - studopediya

Problema de optimizare este complicată în mod considerabil în cazul în care funcția obiectiv f () poate fi în regiunea permisă G nu este una ci mai multe maxime sau minima. În acest caz, extremum globală poate fi realizată pe limita și nu coincide cu un vârf local. Dacă știți existența extremum globale a functiei f () (de exemplu, pe baza Teorema 5.2.), Este de ajuns pentru a găsi toate punctele de staționare și compară valorile funcției f () în aceste puncte cu valori extreme la limita. Cea mai mare valoare va corespunde la maxim la nivel mondial. Soluția acestei probleme poate fi foarte consumatoare de timp, din cauza numărului mare de tipuri de restricții (5.1) în probleme practice.

Prin urmare, un interes considerabil în astfel de probleme, în care funcția obiectiv are un singur maxim sau minim, și în care, prin urmare, este un extremelor locale, în același timp, la nivel mondial. Pentru a identifica tipul de probleme rolul funcțional jucat de noțiunea de convexitate și concavitate funcțiilor.

Fie f () funcția obiectiv este definită pe un set G convexă; 1. 2 - două puncte arbitrare ale lui G. £ t 0 este un punct arbitrar al segmentului care leagă 1. 2. Se consideră segmentul care unește valorile f (1) și f (2) funcțiile f ()

Definiția 5.7. Funcția f () se numește convexă dacă aceasta se întinde în întregime deasupra (nu mai puțin), segmentul care leagă cele două puncte arbitrare, adică pentru orice 1, 2, și inegalitatea ..:

Definiția 5.8. Funcția f () se numește concavă dacă se află în întregime sub (nu mai mult), segmentul de legătură sale două puncte arbitrare r. e. dacă

Fig. 5.3 ilustrează determinarea extremele locale, la nivel mondial, punctele staționare, convexe și concave caracteristici.

Fig. 5.3 Funcții și convexe); b concav); Mod de comună).

Proprietățile funcțiilor convexe și concave, care sunt importante pentru rezolvarea problemelor de programare neliniare.

Teorema 5.4. Orice un minim local al unei funcții concave convexe maximă locală sau sunt ambele la nivel mondial.

Teorema 5.5. poate fi realizat la nivel mondial minim puternic sau maximă a unei funcții convexe concave definite în zona convexă (un domeniu mărginit într-o închisă - se realizează), numai la zona de graniță.

Aceste teoreme ne permit să evidențieze unele dintre tehnicile care fac mai ușor de a găsi un extremum la nivel mondial:

1. Dacă funcția este convexă (concavă) și de la (5.4), obținut printr-un punct de staționare, maximul global (minim) este realizată în ea.

2. Pentru a găsi minimul global al unui nivel mondial maxim suficient de cercetare funcție Extrema funcție convexă sau concavă numai la limita.

În cele din urmă, este de remarcat faptul că suma funcțiilor convexe (concave) este convexă (concavă).

Să luăm în considerare unele dintre cele mai importante tipuri de funcții convexe și concave.

Funcția liniară f () = este convexă (și concave) în întregul R spațiu (n). Cu toate acestea, nu este nici strict convexă sau concavă strict. Funcția pătratică:

Este convexă pe întregul R spațiu (n). în cazul în care este negativ (nu pozitiv) definită, adică, în cazul în care f () 0 £ pentru toate. cu excepția = 0. O funcție pătratică este concavă pe întregul R spațiu (n). în cazul în care este pozitiv (nu negativ) definită, adică, în cazul în care f ()> 0 pentru toți. cu excepția = 0.

Aceste proprietăți ale funcției pătratice pot fi setate în cazul general, semnele rădăcinilor caracteristice ecuației lI matricea C =. având forma:

Aici, elementele diagonale cij sunt coeficienții xi 2. Elementele diagonale Cij = CJI egală cu jumătate din coeficientul de xj xi în formula (5.7).

Teorema 5.6. Pentru o funcție pătratică (5.7) are un rezultat pozitiv (negativ) definit este necesar și suficient ca toate rădăcinile (5.8) au fost pozitive (negative).

Dacă există cel puțin un zero între rădăcinile - o funcție pătratică a unui non-negativ (non-pozitiv). În cele din urmă, în cazul în care există rădăcini de diferite semne - funcție pătratică este incertă.