comparație directă seria de teste - studopediya

semn necesară de convergență nu, nu în general vorbind, pentru a judeca dacă seria converge sau nu. Convergență și divergență al seriei, în multe cazuri, pot fi setate folosind așa-numitele semne adecvate.

Luați în considerare unele dintre ele pentru seria znakopolozhitelnyh t. E. Seria cu termeni non-negativi (număr znakootritsatelny de treceri în znakopolozhitelny prin înmulțirea cu (-1), care, după cum știm, nu afectează convergența seriilor).

Convergența sau divergența unei serii znakopolozhitelnogo adesea stabilite prin compararea cu alții ( „de referință“) din apropiere, care este cunoscută pentru a converge sau nu. Baza unei astfel de comparații bazate pe teorema următoare.

Teorema 1. două serii znakopolozhitelnyh Să presupunem că

Dacă pentru orice n, inegalitatea

atunci convergența seriilor (2) că seria (1), divergența seriei (1) că divergența seriei (2).

Notăm sume parțiale th n- ai seriei (1) și (2), respectiv, și prin intermediul. Din (3) rezultă că

Lăsați seria (2) converge și suma este egală cu S2. Apoi. un număr de membri (2) sunt pozitive, cu toate acestea, și, prin urmare, sub rezerva inegalitatea (4). Astfel, secvența de creștere și monoton delimitate mai sus de S2. Pe baza existenței secvenței limită are o limită, t. E. Seria (1) converge.

Să presupunem acum că seria (1) diverge. Deoarece membrii seriei sunt non-negativ, în acest caz, avem. Apoi, ținând cont de inegalitatea (4), obținem t. E. Seria (2) diverge.

Notă. Teorema 1 deține în cazul în care inegalitatea (3) nu este îndeplinită pentru toți membrii seriei (1) și (2), pornind de la un anumit număr N. Această proprietate rezultă din 3 serii numerice.

Teorema 2 (limitarea caracteristică comparație). Să două serii znakopolozhitelnyh sunt (1) și (2). Dacă există o altă finită decât 0, limita rândurile (1) și (2) converg sau diverg simultan.

Prin secvențierea limită pentru orice n, cu excepția, eventual, pentru un număr finit de ele, pentru orice inegalitate sau

Dacă seria (1) converge, apoi din partea stângă a (5) și teorema 1 că seria converge. Dar apoi, în funcție de proprietatea serii numerice 1, seria (2) diverge.

Dacă seria (1) diverge din dreapta inegalității (5) din Teorema 1, proprietățile 1 implică faptul că seria (2) diverge.

În mod similar, în cazul în care seria (2) converg (divergenta), convergente (divergente) la seria (1).

Exemplul 1. Testul pentru intervalul de convergență

Soluție: Să comparăm acest număr cu un număr de progresie geometrică care converge. Avem, prin urmare, seria converge.

Exemplul 2. Testul de convergență

Soluție: Aici. Ia serie cu termen general care este divergent (seria armonica). Avem. Prin urmare, această serie diverge.

Exemplul 3. Pentru a investiga convergența

Soluție: Aplicați semnul final al comparației. Din moment ce,

Prin Teorema 2 serii originale diverge ca comparabile cu seria armonica.