Colecția Biblioteca Digitală de probleme și exerciții în disciplina algebră și teoria numerelor

Prin eliminarea completă a necunoscutelor Jordan-Gauss poate rezolva orice sistem de ecuații liniare:

Prima matrice compusă din coeficienți ai termenilor necunoscuți ai ecuațiile și libere a sistemului, denumit matricea extinsă a sistemului:

Următoarele transformări elementare sunt realizate pe matrice, ca rezultat al căreia sistemul de ecuații corespunzătoare matricei nou primit rămâne echivalentă cu originalul:

a) schimba locațiile de orice rând al matricei,

b) înmulțirea fiecare rând al matricei într-un alt număr decât zero,

a) adăugarea la un rând de altul din rândul său înmulțit cu orice număr,

d) schimba locațiile oricărei coloane (care corespunde permutarea termenilor care conțin același nume în toate ecuațiile necunoscute).

Ca urmare a acestor modificări, un sistem în care unele necunoscute excluse din toate ecuațiile, cu excepția uneia. Pentru sistemul de transformări elementare sunt aplicate din nou, pentru a exclude alte persoane necunoscute, etc.

Procesul de transformare poate avea loc mai multe cazuri.

1. În cazul în care, la un moment dat vom obține o matrice de forma:

procesul de calcul se termină. Sistemul inițial are o soluție unică. Valorile corespunzătoare necunoscute sunt în partea dreaptă a matricei.

2. Dacă la un rând punct avansat, partea din stânga, care constă din zerouri, iar dreptul nu este egal cu zero, ceea ce corespunde ecuației:

sistemul original nu are soluții pentru a scrie ecuația nu are nici o soluție, și anume sistemul este incompatibil.

3. Dacă la un moment dat sa format o linie, formată exclusiv din zerouri, care corespunde ecuației:

atunci această linie pot fi eliminate din matrice, așa cum scrie în ecuație este o identitate. Prezența liniei zero indică faptul că a existat în sistemul original, cel puțin o ecuație, care este consecința celuilalt, care este derivat din celălalt, prin înmulțirea acestor linii la anumite numere și adăugarea rezultatelor de multiplicare.

4. Dacă la un moment dat avansat matrice de forma:

(k

Dacă da necunoscut în partea dreaptă a soluțiilor generale și valorile specifice pentru a calcula valorile necunoscutele din partea stanga, atunci avem o anumită soluție. Dacă puneți toate necunoscutele pe partea dreaptă egală cu zero, atunci soluția specială corespunzătoare este de bază.

Exemplu. Rezolva sistemul de ecuații liniare:

Decizie. Vom rezolva sistemul de Gauss-Jordan.

Noi forma matricea augmentată și schimbul reciproc prima și a doua linii:

Având coeficient necunoscut, în primul rând al ghidului, eliminăm necunoscutul din alte ecuații, și anume înmulțirea primul rând la „-2“ și „-3“, se adaugă rezultatele corespunzătoare din al doilea și al treilea rând al matricei rezultat.

În continuare, vom lua pentru elementul de ghidare „-3“ - în al doilea rând și în a doua coloană. Pentru a obține unitatea în locul elementului de ghidare, va împărtăși al doilea rând la „-3“. Inmultind șirul rezultat, respectiv, „2“ și „3“, respectiv, se adaugă până rezultatele din primul și al treilea rând, eliminând astfel necunoscut al primului și al treilea sistem de ecuații:

Apoi, luând un element de „6“, în al treilea rând și a treia coloană a ghidului, împărțiți linia a treia la „-6“. Cu acest șir de caractere care conține unul, obținem zerouri în a treia coloană din prima și cea de a doua linie:

Ultima matrice corespunde sistemului de ecuații:

Crezând și liber, transferați-le pe partea dreapta. Ca rezultat, vom obține soluția generală a sistemului:

Și da valori arbitrare, obținem un număr infinit de soluții.

Să. apoi o anumită soluție ar fi după cum urmează:

Și când vom obține o soluție de bază:

Substituind soluția la sistemul dat de ecuații, puteți verifica acuratețea calculelor.

Solve sisteme de ecuații liniare. Clarificarea sensul geometric al deciziei:

Rezolvarea unui sistem de ecuații prin eliminarea completă a necunoscutelor (metoda lui Gauss-Jordan). În cazul în care sistemul este incert, este necesar să se găsească una dintre deciziile de bază, și o soluție special, nu este de bază.