Ce înseamnă ecuație liniară - sensul cuvintelor

valori căutare / cuvinte de interpretare

Secțiunea este foarte ușor de utilizat. Caseta de sugestie este suficient pentru a introduce cuvântul dorit, și vă vom emite o listă a valorilor sale. Vreau să rețineți că site-ul nostru oferă date din diferite surse - enciclopedic, sensibilă, cuvânt dicționare de formare. Aici puteți obține, de asemenea, familiarizat cu exemple de utilizare a cuvintelor introduse.

ecuația algebrică în care partea necunoscută a gradul 1, și nu există termeni care conțin produse de necunoscut. ecuație liniară cu o singură necunoscută este de forma: ax b ?. În cazul mai multor necunoscute afacere cu sisteme de ecuații liniare. Teoria ecuațiilor liniare a fost dezvoltată după apariția determinanții matrici și predare. Conceptul de liniaritate este transferată din ecuațiile algebrice ecuațiile în alte domenii de matematică (de exemplu, ecuații diferențiale liniare -. Această ecuație diferențială, în care funcția necunoscută și derivații săi sunt liniar, adică în nivelul 1).

enciclopedie

o ecuație în care necunoscuta parte a gradul 1 (adică. e. liniară) și nu sunt termeni care conțin produse de necunoscute. Mai multe L. y. în raport cu același sistem formă ML necunoscut în. L. soluție de sistem y. este o colecție de numere, c2 c1. cn, inversând toate ecuațiile în identități după înlocuirea lor în loc să necunoscutele corespunzătoare. L. Sistem în. Acesta poate avea fie o singură soluție unică și un număr infinit de soluții (sistem nespecificat); acesta poate fi, de asemenea, că sistemul LG în. Ea nu are nici o soluție (sistem de inconsistente). Cel mai frecvent caz în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute. Unul din Los Angeles. unul necunoscut este de forma: ax = b; decizia sa de ¹ 0 va fi numărul b / a. două ML Sistem de la. cu două necunoscute este dată de: ═ (

în cazul în care a11, A12, A21, A22, B1, b2≈ orice număr. Soluția sistemului (1) pot fi obținute cu ajutorul factorilor determinanți:

aici se presupune că, în determinant numitor ═otlichen zero. In numărătorul sunt determinanții obținuți din D prin înlocuirea într-o coloană de membrii coloanelor b1 libere, b2; în expresia pentru primul x1 necunoscut înlocuit cu prima coloană, iar a doua expresie pentru necunoscut doua x2 ≈.

O regulă similară se aplică în relațiile cu orice sistem și în LA. n necunoscutele, adică, tipul de sistem ..:

Aici aij și bi (i, j = 1, 2 n) ≈ coeficienți numerici arbitrare; numerele b1, b2. bn sunt numite de obicei termeni liberi. Dacă determinant D = sistemul ½aij½ (2), constând din coeficienți AIJ pentru necunoscut este diferit de zero, atunci soluția este obținută după cum urmează: ke (k = 1, 2 n) XK necunoscute fracțiuni egale, în care numitorul este determinantul D, și în determinantul numărătorul ≈ obținută din D prin înlocuirea acestuia în coloana coeficienților de necunoscut preia (coloana k) a coloanei libere ale membrilor b1, b2. bn. Dacă D = 0, atunci (2) fie nu are nici o soluție, sau are un număr infinit de soluții.

Dacă toate bi = 0 (sistem L.. In acest caz, se numește omogen), atunci D ¹ 0 soluție de compus (2) va fi zero (adică. E. Toate xk = 0). În practică, de multe ori, cu toate acestea, există sistem omogen în LA. cu numărul de ecuații este 1 mai mic decât numărul de necunoscute, adică, tipul de sistem ..:

Soluția acestui sistem este ambiguu; din ea, puteți găsi, de obicei, numai raportul de necunoscut:

x1. x2. xn = D1. D2. Dn,

unde Dn ≈ înmulțit cu (≈ 1) k determinantul obținut din coeficienții matricei aij sistemului (3), cu anularea coloanei (această regulă se aplică numai în cazul în care cel puțin unul dintre Di diferiți determinanți ai 0).

Prima soluție a sistemelor (2) a fost obținut de Cramer în 1750; regulă pentru găsirea soluțiilor acestor sisteme este în continuare numele de regula lui Cramer. Construirea unei teorii complete a sistemelor din LA. Acesta nu a fost finalizată până la 100 de ani mai târziu L. Kronecker.

Sistemul total L. m y. n necunoscute este după cum urmează:

Problema compatibilității sistemului în LA. (4) t. E. Problema existenței unei soluții este decisă prin compararea rândurile matricelor

În cazul în care rândurile de aceeași, atunci sistemul este consecvent; dacă rangul matricei B este mai mare decât gradul de matricei A, atunci sistemul este incompatibil (≈ Kronecker Capelli teorema). În cazul sistemului de compatibilitate, puteți găsi soluția în felul următor. După ce a găsit într-un nenuli minore cele mai mari ordine r casate m ≈ r ecuații ale căror coeficienți nu sunt incluse în acest minor (rămase sunt turnate ecuațiile corollaries, și de aceea ele nu pot fi văzute); în ecuațiile rămase transferate din dreapta acelor necunoscute care coeficienți nu sunt incluși în Minor selectat (necunoscutelor libere). Oferirea anonime Orice valori numerice libere, vom obține un sistem de ecuații r în care R necunoscute pot fi rezolvate prin regula lui Cramer. Valorile găsite pentru necunoscutele r, împreună cu valorile necunoscutelor libere dau un coeficient (m. E. Un posibil mai multe) soluție de compus (4). Nu puteți da valori specifice anonime libere, exprimate direct prin ele rămânând necunoscute. Deoarece se obține soluția generală, adică, o soluție în care parametrii necunoscuți sunt exprimate în termeni de ..; da acești parametri, orice valoare, puteți obține toate soluțiile particulare ale sistemului.

Sistemul Omogene în LA. Acesta poate fi rezolvată în același mod. Soluțiile lor au proprietatea că suma, diferența, și, în general, orice combinație liniară de soluții (considerate ca vectori n-dimensional) este, de asemenea, o soluție a sistemului. Cu alte cuvinte, mulțimea tuturor soluțiilor sistemului omogen în LA. formează un subspatiu liniar al spatiului vectorial n-dimensional. Soluții de sistem, care sunt ele însele liniar independente și ne permit să-și exprime orice altă soluție sub forma unei combinații liniare (ex. E. Baza subspatiului liniar) se numește un sistem fundamental de soluții de omogen L. y.

Între sistem soluții LS în. (4) și corespunzătoare sistemelor omogene L. y. (.. Aceasta este, ecuații cu aceiași coeficienți de necunoscutele, dar cu termeni liberi egale cu zero), există o relație simplă: soluția generală a sistemului neomogen se obține din soluția generală a sistemului omogen prin adăugarea de orice soluție particulară a sistemului neomogen în LA.

O mai mare claritate a prezentării în AL în teorie. poate fi realizat folosind limbajul geometric. Desen cu luarea în considerare a operatorilor liniari în spații vectoriale (considerând ecuația de forma Ax = b, A ≈ operator liniar, x și vectori ≈ b), este ușor să se stabilească o conexiune în LA algebrică a considerat. cu L. y. în spații infinite-dimensionale (sistem LS în. cu un număr infinit de necunoscute), în special în LA. în spații funcționale, de exemplu, ecuație diferențială liniară. ecuație liniară integrală (vezi. Ecuația integrală), și altele.

Aplicarea Cramer reguli pentru rezolvarea unui număr mare de practică L. y. pot întâmpina dificultăți considerabile, adică. k. un ordin de mare constatare determinanți asociate cu calcule prea mari. Prin urmare, au fost dezvoltate diferite metode pentru soluții numerice (aproximative) în sistemele de LA. (Soluție numerică a ecuațiilor A se vedea.).

Lit. Enciclopedia matematicii elementare, ed. P. S. Aleksandrova [et al.], Voi. 2, M. L. ≈ 1951; Faddeev DK Faddeev, VN computațională Metode de Algebra liniara, 2nd ed. M. L. ≈ 1963.

Ecuația liniară - este o ecuație algebrică. în care extinderea deplină a polinoamelor constituente este egal cu 1. Ecuația liniară poate scrie: