bază ortogonală în spațiu euclidian

Determinarea .Vektory a, bÎE numit ortogonale dacă produsul lor scalar este zero.

Conceptul de ortogonalitate poate fi considerat o generalizare a conceptului de perpendicularitate.

1. Dacă luăm în considerare vectorii a, bÎE3, conceptul coincide cu conceptul de perpendicularității ortogonalitate.

2. Vectorul de zero este ortogonal oricărui vector spațiu E, adică pentru orice vector deÎEÞ(A, q) = 0.

Definiția. Sistemul de vectori a1, a2, ..., un spațiu euclidian se numește un sistem ortogonal dacă vectorii acestui sistem sunt reciproc ortogonali, adică,

2. Un sistem ortogonal de nenul spațiu vectorial E este un sistem liniar independent.

vectori nenuli Sledstvie.Ortogonalnaya sistem n- este o bază în spațiul Euclidian En.

Definiția. Baza spațiului euclidian En, care este un sistem ortogonal de vectori se numește o bază ortogonală.

Teorema. Orice spațiu euclidian n-dimensional are o bază ortogonală.

Dovada (proces ortogonalizarea).

Construit un sistem de vectori este o bază ortogonală. # 143;

Opredelenie1. Vectorul En, a cărui lungime este egală cu una se numește normalizat.

Din definiția unui vector normalizat că dacă avem orice a¹q vector nenul, vectorul a1 = takzhenormirovanny (|| a1 || = = = = = 1

Opredelenie2 .Change de vector la vector și a1 (a cărui lungime este egală cu a) este o normalizare vector.

Opredelenie3 .Bazis e1, e2, ..., se numește ortonormală RO En spațiu, în cazul în care este ortogonală și toate vectorul său sunt normalizate, adică avem următoarele:

Teorema. În fiecare spațiu euclidian En există baze ortonormate.

Dovada: Este cunoscut faptul că în spațiul En acolo ortogonală b1 bazisy.Pust, b2, ..., bn - o bază ortogonală în spațiul En. Impartim fiecare vector prin lungimea sa și de a obține un sistem de vectori.

Sistemul rezultat al vectorilor este ortonormate prostranstvaEn bază ca ?.

Teorema. bază e1, e2, ..., spațiu EN En ortonormală când produsul interior al oricăror doi vectori în spațiul En este egal cu suma produselor din coordonatele corespunzătoare ale vectorilor a și b în această bază.

Teorema. Dacă e1, e2. ... RO - En ortonormal baza spațiului, atunci componenta i-lea de descompunere a oricărui vector și pe baza vectorului produsului spațiul dat ravnaskalyarnomu și un vector ei, adică este egal cu (a, EI).